De la banalité peut jaillir l'intérêt

Jean Piquerez
Collège du Staël, Genève

PDF-Ausgabe

DANS LE FUNDAMENTUM de mathématiques "Analyse", monographie N$^\mathrm{o}$ 25 de la CRM, on peut lire en page 135, exercice 4.32 :

1) Calculer le plus grand écart vertical entre les graphes des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$$f(x) = \frac{x^2}{8}, \ \ g(x) = \sqrt{x}$$

avec $0\leq x \leq 4$. On trouve $l^x_{max}=\frac{3}{4}\sqrt[3]{2}\approx 0,945$.

J'y rajoutai, pour mes élèves, la question suivante :

Calculer le plus grand écart horizontal entre les mêmes graphes.

C'était l'occasion d'exprimer les fonctions réciproques et l'on était alors ramené à l'exercice précédent avec :

$$^rf(y) = 2\sqrt{2y}, \ \ ^rg(y) = y^2$$

avec $0\leq y\leq 2$. On trouve $l^y_{max} = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} = 2l^x_{max}$

Et ce fut le début d'une longue suite d'interrogations.

En est-il toujours ainsi, quelles que soient les fonctions des familles du type :

$$f_a(x) = ax^2 \ \ \mathrm{et} \ \ g_b(x) = \sqrt{bx}$$

avec $a>0$ et $b>0$ ? La réponse est négative.

Un élève me demanda alors s'il n'y avait pas un lien avec le rapport des coordonnées du point d'intersection (4;2) de $f$ avec $g$, constatant que ce rapport vaut 2. Je répondis sans trop y croire que ce n'était pas exclu. Mais il ne faut pas sous-estimer l'intuition des élèves "faibles".

Alors, allons-y :

Soient $f_a(x) = ax^2$ et $g_b(x) = \sqrt{bx}$.

$$f_a(x)=g_b(x) \Leftrightarrow ax^2=\sqrt{bx} \Leftrightarrow a^2x^4=bx$$

$$\Leftrightarrow x(a^2x^3-b)=0 \Leftrightarrow x=0 \ \mathrm{ou} \ x=b^\frac{1}{3}a^{-\frac{2}{3}}$$

Si $x=0$, $y=0$ et, si $x=b^\frac{1}{3}a^{-\frac{2}{3}}$, $y=a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}}$, les deux points d'intersection sont : $O(0;0)$ et $P(b^\frac{1}{3}a^{-\frac{2}{3}};a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}})$.

On observe que $\frac{x_P}{y_P}=(ab)^{-\frac{1}{3}}$.

Maximalisons le segment vertical $M_1M_2$ :

$$M_1M_2=l(x)=g(x)-f(x)$$

$$\Rightarrow l'(x)=g'(x)-f'(x)= \frac{b^\frac{1}{2}-4ax^\frac{3}{2}}{2x^\frac{1}{2}}$$

$l'(x)=0 \Leftrightarrow x_{max}=\left( \frac{b}{16a^2} \right)^\frac{1}{3}$, d'où $l^x_{max}=\frac{3b^\frac{2}{3}}{4^{\frac{4}{3}}a^{\frac{1}{3}}}$.

Maximalisons le segment horizontal $N_1N_2$ :

$$N_1N_2 = l(y)=^r\!\!f(y)-^r\!\!g(y)=\left(\frac{y}{a}\right)^\frac{1}{2}-\frac{y^2}{b}$$

$$\Rightarrow l'(y)=(^rf)'(y)-(^rg)'(y)= \frac{b-4a^\frac{1}{2}y^\frac{3}{2}}{2a^\frac{1}{2}by^{\frac{1}{2}}}$$

$l'(y)=0 \Leftrightarrow y_{max}=\left(\frac{b^2}{16a}\right)^\frac{1}{3}$, d'où $l^y_{max}=\frac{3b^\frac{1}{3}}{4^\frac{4}{3}a^\frac{2}{3}}$.

On observe alors que $\frac{l^y_{max}}{l^x_{max}}=(ab)^{-\frac{1}{3}}=\frac{x_P}{y_P}$.

Bravo l'élève!

Illustration avec $b=1$ et $a=\frac{1}{8}$.

Dans le cas présent, on a

$$\frac{x_P}{y_P}=\frac{l^y_{max}}{l^x_{max}}=2\ \mathrm{et}\ \frac{OQ}{OP}=2^{-4/3}\approx 0,4$$

Mais intéressons-nous d'un peu plus près au point $Q$, intersection des deux segments maximaux $N_1N_2$ et $M_1M_2$. Quelle question naturelle le mathématicien peut et doit-il se poser ? $Q$ appartient-il ou non au segment $[OP]$ ? Bien sûr.

Et rebelote.

La droite $(OP)$ a pour équation : $y=\frac{y_P}{x_P}x \Leftrightarrow y=(ab)^\frac{1}{3}x$.

Le point $Q$ a pour coordonnées :

$$\left( \left(\frac{b}{16a^2} \right)^\frac{1}{3}; \left(\frac{b^2}{16a} \right)^\frac{1}{3} \right)$$

et l'on vérifie aisément qu'elles satisfont l'équation de $(OP)$.

Quelle autre question "essentielle" ledit mathématicien pourrait-il encore se poser ?

Le rapport $\frac{OQ}{OP}$ est-il constant ? Bien entendu.

Et "rerebelote" :

$\frac{OQ}{OP}=\frac{x_Q}{x_P}$ par Thalès et $\frac{x_Q}{x_P}=\frac{1}{4^\frac{2}{3}}\approx0,397$.

Conclusion :

Le rapport des longueurs des deux segments maximaux est égal à celui des coordonnées du point $P$, le point $Q$ d'intersection de ces deux segments est situé sur $(OP)$ et $\frac{OQ}{OP}\approx 2^{-\frac{2}{3}}$.

Etonnant, non ?

Nouvelle question : mais pourquoi, diable, se limiter à des fonctions du econd degré ? Envisageons donc les deux familles de fonctions suivantes :

$f_a: x \longmapsto ax^n$ et

$g_b: x \longmapsto \sqrt[n]{bx}$

avec $a>0$, $b>0$ et $n\geq 2$, entier.

Alors $f_a(x)=g_b(x) \iff x=0$ ou $x=\left(\frac{b}{a^n}\right)^\frac{1}{n^2-1}$ et le point d'intersection $P$ est de coordonnées :

$$\left( \left(\frac{b}{a^n} \right)^\frac{1}{n^2-1}; a\left(\frac{b}{a^n} \right)^\frac{n}{n^2-1} \right),$$

le rapport $\frac{x_P}{y_P}$ des deux coordonnées étant

$$\frac{x_P}{y_P}=(ab)^{-\frac{1}{n+1}}$$

$$l(x)=(bx)^\frac{1}{n}-ax^n \Rightarrow l'(x)=\frac{b}{n(bx)^\frac{n-1}{n}}-nax^{n-1}$$

$$l'(x)=0 \iff x= \left( a^{-1}n^{-2}b^\frac{1}{n} \right)^\frac{n}{n^2-1}$$

D'où

$$l^x_{max}= a^{-\frac{1}{n^2-1}} \cdot b^\frac{n}{n^2-1} \cdot n^\frac{-2n^2}{n^2-1} \cdot (n^2-1)$$

après de fastidieux calculs.

$$^rf_a(y)=\left( \frac{y}{a} \right)^\frac{1}{n} \ \mathrm{et} \ ^rg_b(y)=\frac{y^n}{b},$$

d'où

$$l(y)=\left(\frac{y}{a}\right)^\frac{1}{n} -\frac{y^n}{b} \Ri... ...{na}\left(\frac{y}{a}\right)^\frac{1-n}{n} -\frac{ny^{n-1}}{b}$$

$$l'(y)=0 \iff y=(b^1n^{-2}a^{-\frac{1}{n}})^\frac{n}{n^2-1}.$$

D'où

$$l^y_{max}= b^\frac{1}{n^2-1}\cdot a^\frac{-n}{n^2-1}\cdot n^\frac{-2n^2}{n^2-1}\cdot(n^2-1).$$

Ainsi :

$$\frac{l^y_{max}}{l^x_{max}}= a^\frac{-n+1}{n^2-1}\cdot b^\frac{1-n}{n^2-1} = (ab)^{-\frac{1}{n+1}}=\frac{x_P}{y_P}.$$

Les points $O$, $Q$ et $P$ continuent-ils d'être alignés ? $Q(x_Q;y_Q)$ de sorte que : $\frac{y_Q}{x_Q}=(ab)^\frac{1}{n+1}=\frac{y_P}{x_P}$. Oui.

Quel est le rapport $\frac{OQ}{OP}$ ? C'est le même que le rapport $\frac{x_Q}{x_P}$, c'est-à-dire :

$$\frac{x_Q}{x_P}= \frac{(a^{-1}n^{-2}b^\frac{1}{n})^\frac{n}{... ...{(b^\frac{1}{n}a^{-1})^\frac{n}{n^2-1}} =n^{-\frac{2n}{n^2-1}}$$

Ainsi le rapport est indépendant de $a$ et de $b$, pour tout $n\geq 2$, entier, mais dépend de $n$ et vaut :

$$n^{-\frac{2n}{n^2-1}}$$

Remarquons que

$$\lim_{n\to\infty} n^{-\frac{2n}{n^2-1}}=1.$$

Ainsi, plus l'exposant est élevé, plus le point $Q$ se rapproche de $P$ sur le segment $[OP]$.

P.S.

Après coup, je me suis rendu aperçu que l'exercice 4.32, page 135, évoqué au début de ce texte, proposait la fonction : $f(x)=\frac{x^3}{8}$, mais un collègue m'a fait observé que ma modification involontaire rendait le problème plus intéressant!