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Notes de lecture : Groupes et ethnologie Paul Jolissaint

Les présentes notes sont extraites de L'algèbre après Galois, par Norbert Verdier dans la collection Les génies de la science, Pour la Science, février 2003 - mai 2003, pages 77 à 85.

Un peu avant les années 1950, l'ethnologue Claude Lévy-Strauss étudiait le concept de famille dans diverses civilisations et notamment, aidé du mathématicien André Weil, il dégagea le concept de structure élémentaire de parenté, basé sur la notion de groupe. C. Lévy-Strauss étudiait en particulier une société primitive australienne, la société Karieka. Elle est formée de quatre clans : les Banaka, les Karimera, les Burung et les Palyeri. Après avoir exposé ses travaux à A. Weil, celui-ci découvrit que la théorie des groupes décrit parfaitement les m

urs des Karieka. Afin de faciliter la manipulation de ces divers clans, nous allons les représenter par des lettres: $A$ désignera les Banaka, $B$ les Karimera, $C$ les Burung et $D$ les Palyeri. De plus, nous noterons $S=\{A,B,C,D\}$ l'ensemble des clans chez les Karieka.

Voici maintenant les deux ensembles de règles d'appartenance aux clans que l'ethnologue a décrites dans son ouvrage Les structures élémentaires de la parenté (1947) :

• Règles des mariages :
  1. $A$ épouse $C$
  2. $B$ épouse $D$
• Règles d'appartenance de la descendance :
  1. homme $A$ et femme $C$ $\rightarrow$ enfant $D$
  2. homme $C$ et femme $A$ $\rightarrow$ enfant $B$
  3. homme $B$ et femme $D$ $\rightarrow$ enfant $C$
  4. homme $D$ et femme $B$ $\rightarrow$ enfant $A$

Soit alors $f$ la ``fonction conjugale'' ; d'après les règles de mariage, c'est la permutation de $S$ donnée par :

$X$	$A$	$B$	$C$	$D$
$f(X)$	$C$	$D$	$A$	$B$

On constate aisément que $f$ est d'ordre 2 : $f\circ f=\textrm{Id}_S$.
Pour décrire la filiation, on définit deux fonctions sur $S$ ; la première $m:S\rightarrow S$ associe au clan maternel $X$ le clan $m(X)$ de son enfant. Les règles sont résumées par :

$X$	$A$	$B$	$C$	$D$
$m(X)$	$B$	$A$	$D$	$C$

De même, la seconde $p:S\rightarrow S$ associe au clan paternel $Y$ le clan $p(Y)$ de son enfant. D'après les règles,

$X$	$A$	$B$	$C$	$D$
$p(X)$	$D$	$C$	$B$	$A$

En fait, on a $m\circ f=p$ : en effet, considérons un homme du clan $X$ ; son épouse appartient au clan $f(X)$ ; par suite, le clan de leurs enfants est $m(f(X))$ mais aussi $p(X)$. D'o l'égalité annoncée.
On vérifie également que $f\circ m=p$ : en effet,

$X$	$A$	$B$	$C$	$D$
$m(X)$	$B$	$A$	$D$	$C$
$f(m(X))$	$D$	$C$	$B$	$A$

Enfin, $p\circ p=m\circ m=\textrm{Id}_S$.

Soit alors $G=\{\textrm{Id}_S,f,m,p\}$, qui est un sous-groupe des permutations de $S$, et soit $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ le groupe de Klein. Si $\phi:G\rightarrow \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ envoie $\textrm{Id}_S$ sur $(0,0)$, $f$ sur $(1,0)$, $m$ sur $(0,1)$ et $p$ sur $(1,1)$, on vérifie que $\phi$ est un isomorphisme. Ainsi, les règles d'appartenance clanique chez les Karieka possèdent une structure de groupe (en fait, de groupe abélien)!

Conséquences
(1) Le fait que $m(m(X))=X=p(p(X))$ pour tout $X$ implique que tout enfant appartient au clan de sa grand'mère maternelle, mais également au clan de son grand'père paternel.
(2) On interprète les égalités $f\circ m=m\circ f=p$ ainsi : la fille d'un homme peut épouser le fils de la sur de l'homme. En effet, soit $X$ le clan d'un homme (et de sa sur). Alors $Y=p(X)$ est le clan de la fille de l'homme et $m(X)$ est le clan du fils de la sur. Comme $f(m(X))=p(X)$, on a $Y=f(m(X))$, ce qui signifie que la fille de l'homme et le fils de sa sur appartiennent à des clans dont les membres peuvent se marier.

Lycée cantonal de Porrentruy

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