A 300 anni dalla nascita di Eulero

Leonhard Euler 1707-1783

La formula di Eulero

è considerata dalla maggior parte dei matematici come la formula più bella. Dall’articolo Divine proporzioni, l'arte di Platone ed Eulero del matematico Piergiorgio Odifreddi, pubblicato nella rassegna stampa de Il Sole 24 Ore del 15.09.2002: “La supposta divisione fra scienza e umanesimo si basa sostanzialmente su un'equivoca contrapposizione fra verità e bellezza, …
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Lo scienziato teorico, in fondo, non è che un poeta che versifica in un linguaggio formale, e cerca le parole o i simboli "giusti" per piegare la natura e il pensiero alle esigenze espressive della sua arte.
Che la cosa vada intesa in un senso letterale, e non soltanto metaforico, è stato sostenuto dal famoso fisico Paul Dirac, premio Nobel nel 1933, secondo il quale lo scienziato «dovrebbe essere fortemente influenzato nel suo lavoro da considerazioni sulla bellezza della matematica». In altre parole, dev'essere l'estetica a guidare lo scienziato nella scelta fra formulazioni alternative di una teoria, in base alla supposizione pitagorica che l'armonia del mondo si rifletta nella matematica che lo descrive.
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La bellezza matematica non si può naturalmente definire, non più di quanto si possa definire la bellezza artistica, e in entrambi i casi «intender non la può chi non la prova». Ma chi la prova, cioè i matematici e gli artisti, non ha difficoltà a riconoscerla e apprezzarla. Né a mostrarla con esempi, che nel caso della matematica possono essere scelti sia nella geometria che nell'aritmetica, cioè nelle scienze che corrispondono ai due a priori kantiani dello spazio e del tempo.

Quanto alla bellezza numerica, l'esempio più citato è la famosa formula di Eulero che lega in maniera sorprendente cinque dei più importanti numeri della matematica: due interi (lo zero e l'uno), due reali (pi greco e la base dei logaritmi naturali) e un complesso (la radice quadrata di -1). Usando le tre operazioni più importanti della matematica (la somma, il prodotto e l'elevamento a potenza) si ottiene un'inaspettata relazione fra di essi, che mostra un'intrinseca connessione esistente fra enti scoperti individualmente a distanza di migliaia di anni uno dall'altro, condensata in una formula che possiede la profonda armonia di un'opera d'arte e soddisfa le caratteristiche richieste da Pound per la grande letteratura.” Nella pagina La formula più bella del sito Matematicamente.it, nella quale vengono presentate parecchie formule matematiche ritenute belle, al punto 5. “Identità di Eulero” si può leggere, tra l’altro: Richard P. Feynmann, fisico americano premio Nobel nel 1965 per i suoi studi sull'elettrodinamica quantistica, fu uno dei primi ad eleggerla "formula più bella di tutti i tempi", quando all'età di 13 anni la inserì con tale appellativo nel suo quaderno di liceale. E come dargli torto? La prima cosa che si nota è che compaiono, una dopo l'altra, come in rassegna, tutte le entità fondametali della matematica: la costante di Nepero (e = 2.7182818…), il valore di pi greco ( = 3.14159265…), l'unità immaginaria i (radice quadrata di –1), il numero 1 (elemento neutro per la moltiplicazione) e il numero 0 (elemento neutro per la somma). Anche dal punto di vista storico, i concetti che vengono evocati spaziano attraverso le epoche e i luoghi che hanno fatto la storia della matematica: si pensi al periodo aureo della geometria greca (costante ), agli influssi della matematica indiana, che introdusse il concetto di zero, al dibattito rinascimentale italiano fra Tartaglia e Cardano relativamente alla risoluzione delle equazioni di terzo grado (unità immaginaria i), per poi passare alla nascita dei logaritmi ai tempi di Nepero (costante e), e infine al numero 1, onnipresente in tutte le culture e in tutti i tempi. Altri indirizzi per approfondire l’argomento:
http://www.matematicamente.it/storia/nepero_eulero.htm
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Ott_04/Numeroe.htm
http://www.matematicamente.it/attisantacesarea/Maracchia.pdf La si chiama formula di Eulero, ma forse lui così non l’ha mai scritta, Il prof. dott. Ed Sandifer lavora al Dipartimento di matematica della Western Connecticut State University, US. È segretario della Euler Society, autore tra l’altro di una serie di articoli dal titolo How Euler Did It pubblicati sul sito della Mathematical Association of America.
Nel contributo del mese di febbraio 2007 (i suoi articoli appaiono ogni mese a partire dal novembre 2003) dal titolo Euler’s Greatest Hits, Sandifer osserva – a proposito della formula – che in questa forma Eulero non l’ha mai scritta, ma che nella prima lettera (del 13 ottobre 1729) a Christian Goldbach^a), parlando di una certa serie (la citazione è in fondo alla pagina 5) si è espresso così: (...) Ma il termine di esponente uguale a è uguale a oppure, ciò che fa lo stesso, al lato del quadrato uguale al cerchio di diametro 1. (...) Ora, il cerchio di diametro 1 ha area , quindi il lato del quadrato equivalente misura . Dalla relazione segue , cioè, usando le notazioni attuali , da cui si ricava , e infine .

Secondo il prof. Sandifer, è probabile che Eulero abbia imparato questa formula da Johann Bernoulli; egli fa anche osservare che la formula generale era nota al matematico inglese Roger Cotes (1682-1716) prima che Eulero comparisse sulla scena. Carl Boyer nella sua Storia della matematica (Oscar Studio Mondatori, Milano, 1980) scrive a pag. 491: “Sembra che Cotes sia stato fra i primi matematici ad anticipare la relazione , di cui egli aveva presentato una espressione equivalente in un articolo pubblicato sulle Philosophical Transactions del 1714 e ristampato nella Harmonia mensurarum. Questo teorema viene solitamente attribuito ad Eulero, che per primo lo espresse nella moderna forma esponenziale.”
Nello stesso testo, a pag. 513, scrive che la formula era già nota a Cotes e a De Moivre. ^a) Christian Goldbach, 1690-1764, matematico prussiano, corrispose con Eulero tra il 1729 e il 1764; i due matematici si scambiarono 196 lettere (di cui 102 scritte da Eulero). Goldbach è famoso soprattutto per la sua congettura, ancora irrisolta oggi: “Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.” (non necessariamente diversi). mentre ne ha scritto la forma più generale

Vi figurano in particolare tre simboli, che Eulero ha proposto direttamente o ha contribuito ampiamente a diffondere:

La sua prima attestazione è in un breve trattato, Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper istituta (Riflessione su esperimenti effettuati di recente sullo sparo con cannoni), scritto da Eulero verso la fine del 1727 o l’inizio del 1728 (quando aveva 21 anni)

(...) Si scriva, per il numero il cui logaritmo è l’unità, e, che è 2,7182817… il cui logaritmo secondo Vlacq (cioè in base 10) è 0,4342944. (...)

Nel documento Il numero e potete trovare in particolare come Eulero ha presentato questo numero nei cap. VI e VII dell'Introductio in analysin infinitorum. Nel file Logaritmo e funzione logaritmica si può vedere come Eulero li ha presentati in quei due capitoli.

La sua prima attestazione è in uno scritto del 1777, che Eulero indirizzò all’Accademia delle Scienze di S. Pietroburgo e che fu pubblicato postumo nel 1794 in uno dei volumi delle Institutionum calculi integralis¹

Poiché non mi si apre altra via che quella di procedere attraverso gli immaginari, nel seguito indicherò la formula con la lettera i, così che sia ii = –1 e 1/i = –i.

Nel documento Il numero i potete trovare alcune note sulla storia dei numeri complessi.

Eulero rese popolare questo simbolo adoperandolo nell’Introductio in Analysin Infinitorum del 1748 (prima usava spesso la lettera p)

Poniamo dunque il raggio del cerchio, o l’intero seno, uguale a 1, e poiché è evidente che la circonferenza di quel cerchio non può essere espressa esattamente con numeri razionali, è stato trovato per approssimazioni che la semicirconferenza di quel cerchio è uguale a² 3,14… (vedi nell’originale) per il quale numero scriverò così che sia uguale alla semicirconferenza del cerchio il cui raggio è 1 oppure sarà la lunghezza dell’arco di 180 gradi.

Il documento Eulero e il calcolo di contiene una traduzione italiana dell'articolo Series maxime idoneae pro circuli quadratura proxime invenienda, catalogato come E809. In questo articolo Eulero spiega per esteso le sue riserve sull'uso tradizionale della serie dell’arcotangente per la determinazione di e illustra con un certo qual vanto le sue proposte di miglioramento.

Nei documenti Il numero zero e Il segno “+” e il segno “=” potete trovare alcune informazioni sull'origine di questi simboli.