Qui di seguito vengono riassunti i primi otto capitoli del primo volume dell'Introductio in analysin infinitorum che in totale ne comprende diciotto.
Come già detto, in questo testo Eulero pone il concetto di funzione alla base dell'analisi matematica.
Nel punto 4 del primo capitolo del primo volume (vedi a lato), Eulero definisce come funzione di una quantità variabile una espressione analitica composta, in qualsivoglia maniera, dalla quantità variabile, da numeri o da costanti.
Nel secondo e nel terzo capitolo tratta delle trasformazioni di funzioni. Nel secondo capitolo Eulero tratta per lo più le semplificazioni dell'espressione che definisce la funzione. Ancora attuale è la sua trattazione della scomposizione in frazioni parziali di un'espressione razionale. Nel terzo capitolo vengono esposti i metodi per trasformare una funzione per mezzo di cambiamenti di variabile.
Nel quarto capitolo Eulero comincia ad utilizzare le cosiddette serie infinite.
Per mezzo di relazioni di ricorrenza riesce a sviluppare in serie di potenze alcune funzioni razionali, come ad esempio 
Uguagliando il numeratore di questa espressione al prodotto 
, Eulero riesce a determinare i coefficienti A e B e a trovare una formula ricorsiva per calcolare i coefficienti successivi. Eulero scrive questa relazione nella forma 
, dove P e Q sono due coefficienti consecutivi e R è il coefficiente che viene subito dopo Q. In questo capitolo Eulero cita anche, senza dimostrarlo, il teorema binomiale di Newton.
Nel quinto capitolo vengono definite e classificate le funzioni a due o più variabili. In questo capitolo, Eulero sottolinea la distinzione tra funzioni omogenee e funzioni eterogenee.
Il sesto capitolo inizia con la definizione di esponenziale come potenza in cui l'esponente è variabile. Dopo avere considerato vari esempi e avere 
definito 
, Eulero considera solo esponenziali 
con 
maggiore di 1.
Nel punto 102 di questo capitolo (vedi a lato) Eulero definisce il logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale e chiarisce il significato di base di un logaritmo. La notazione usata da Eulero per indicare il logaritmo di y è ly.
Dopo avere enunciato le proprietà dei logaritmi, Eulero descrive il metodo, già utilizzato da Briggs, per calcolare, utilizzando solo l'estrazione di radici quadrate, il logaritmo di un numero compreso tra due numeri dei quali si conoscono già i logaritmi. Come esempio, Eulero porta il classico calcolo del logaritmo in base 10 di 5. Poiché vi sono tanti sistemi di logaritmi quante sono le basi, Eulero ricava poi la formula per il cambiamento di base dei logaritmi. Il sesto capitolo si conclude con degli esempi di applicazione dei logaritmi, tra i quali alcuni sulla crescita di una popolazione.
Il settimo capitolo dell'Intoductio è senz'altro uno dei più noti poiché tratta dello sviluppo in serie di potenze dell'esponenziale e del logaritmo. Il capitolo inizia con l'osservazione che se 
è infinitamente piccolo allora 
, dove 
dipende dalla base . Eulero utilizza poi il teorema binomiale per esprimere 
in serie di potenze.
Estratto del punto 115 del settimo capitolo del primo volume dell'Introductio in analysin infinitorum.
Ponendo 
, dove 
è un numero finito e 
è infinitamente grande, Eulero arriva allo sviluppo
Poiché è infinitamente grande, si ha 
e quindi
Ponendo 
nella formula precedente, si trova come serie di potenze di .
Procedendo in modo analogo, Eulero trova anche lo sviluppo in serie di potenze del logaritmo in base , generalizzando il risultato di Newton e Mercator.
Scegliendo infine in modo che sia uguale a 1, Eulero trova la serie che definisce la base del logaritmo naturale. Come aveva già fatto in precedenza, prima in un articolo del 1727, pubblicato postumo nel 1826, e poi in una lettera a Goldbach del 1731, Eulero utilizza il simbolo 
per indicare questa base:
L'ottavo capitolo dell'Introductio tratta delle funzioni trigonometriche e delle loro relazioni con le funzioni esponenziali e logaritmiche. Eulero considera le funzioni trigonometriche come funzioni dell'arco di una circonferenza di raggio unitario e indica queste funzioni con 
, 
e 
. Per indicare l'arco corrispondente a 180°, Eulero utilizza il simbolo 
, come prima di lui avevano già fatto altri matematici.
Dopo avere elencato le proprietà principali delle funzioni trigonometriche e avere ricavato alcune relazioni che discendono dalle formule di addizione, Eulero compie un passo fondamentale utilizzando 
per scomporre l'espressione 
. Nonostante i fattori ottenuti siano complessi, Eulero li utilizza per ottenere la formula
che è nota come formula di De Moivre, anche se Eulero fu il primo a scriverla esplicitamente. Da questa formula, utilizzando ancora una volta il teorema binomiale, Eulero ricava poi le formule per calcolare il seno e il coseno dei multipli di un arco. Ad esempio
Considerando infinitamente piccolo, così che 
e 
, e infinitamente grande in modo che 
sia un numero finito, Eulero riesce a esprimere le funzioni trigonometriche per mezzo della funzione esponenziale:
Da queste due formule Eulero ricava infine la formula che porta il suo nome:
