Histoire et épistémologie des mathématiques dans les temps modernes

Un cours de la CRM organisé à Leysin du 28 septembre au 1^er octobre 2010

 

Ce cours a réuni 47 participants et 6 conférenciers venant de Suisse, de France et d'Allemagne. Des sujets variés ont pu ainsi être proposés aux participants.

Le cours a commencé mardi matin avec un exposé de M. Jean-Daniel Voelke (Lausanne) intitulé Le statut des axiomes en géométrie : entre évidence et consistance. Son intention était de montrer aux participants comment on est passé en géométrie, à la fin du 19e siècle, d'une épistémologie de l'évidence à une épistémologie de la consistance. Il a d'abord rappelé la position des philosophes classiques : pour eux, les axiomes géométriques expriment des évidences. Il a ensuite expliqué comment l'invention de la géométrie non euclidienne entre 1825 et 1830 était venue remettre en question cette conception. L'apparition de cette théorie a fait perdre à la géométrie son statut de science «certaine» et a donné naissance à une conception empiriste de cette discipline. Après avoir donné un aperçu des discussions suscitées entre 1870 et 1890 par l'invention de la géométrie non euclidienne, il a montré comment une conception de la géométrie de plus en plus abstraite et séparée de la réalité s'était développée à la fin du 19e siècle, à la suite notamment des recherches en axiomatique effectuées par des géomètres italiens. Cette conception sera définitivement imposée par le célèbre ouvrage de David Hilbert : Les fondements de la géométrie (1899).

M. Gerhard Heinzmann (Nancy) a présenté le mardi après-midi un double exposé intitulé Approches en philosophie des mathématiques. Il a abordé un grand nombre de problèmes allant de l'Antiquité jusqu'à nos jours. Il a en particulier expliqué les différences entre les grandes épistémologies du 20e siècle comme le formalisme, le constructivisme et l'intuitionnisme. Selon lui, chacune de ces épistémologies présente des points forts et des points faibles et aucune ne peut être considérée comme l'emportant sur les autres. M. Heinzmann a aussi présenté en détail un modèle non standard de l'arithmétique.

Le mercredi matin était consacré à deux exposés de Mme Jacqueline Boniface (Nice). Le premier, Tentative frégéenne de fondement logique des mathématiques, a permis aux participants de retrouver un mathématicien et logicien dont ils avaient déjà entendu parler la veille dans l'exposé de J. D. Voelke, mais sous un autre angle. Si Frege a en effet toujours affirmé que la géométrie trouvait son fondement dans l'intuition et s'est de ce fait opposé à la géométrie non euclidienne, il considérait en revanche que l'arithmétique trouve son fondement dans la logique. Mme Boniface a d'abord présenté de manière générale l'oeuvre de Frege en mettant en évidence son apport essentiel dans le domaine de la logique. Elle a ensuite analysé de manière détaillée la définition logique du nombre donnée par Frege à partir de la notion de concept. Le second exposé de Mme Boniface était intitulé Mathématiques algorithmiques, mathématiques conceptuelles : Kronecker et Dedekind. Elle a commencé par caractériser l'approche conceptuelle de Dedekind, chez qui l'on voit apparaître des notions aussi essentielles que celles de corps et d'anneau. Elle a ensuite montré comment la notion de nombre idéal, inventée par Kummer pour permettre au sein de l'ensemble des entiers d'un corps de nombres algébriques de degré fini une décomposition unique en un produit de facteurs premiers, avait été traitée par Dedekind et Kronecker. A l'approche conceptuelle du premier (fondée sur la notion d'idéal) s'oppose l'approche calculatoire du second (fondée sur la notion de diviseur). C'est finalement la première qui s'est imposée mais la seconde mérite d'être redécouverte. La différence des approches repose en fin de compte sur deux conceptions opposée de la mathématique : pour Dedekind, c'est une science de l'esprit alors que pour Kronecker il s'agit d'une science naturelle.

La conférencière du jeudi matin était Mme Evelyne Barbin (Nantes). Dans son premier exposé, L'histoire des algorithmes : d'Euclide à Turing, elle a présenté un algorithme babylonien de calcul d'inverse et trois algorithmes grecs; parmi ceux-ci, citons l'algorithme exposé au livre VII des Eléments d'Euclide et permettant de déterminer si deux nombres entiers sont premiers entre eux. Elle a ensuite effectué un saut dans le temps de plus de deux millénaires et a expliqué le fonctionnement de deux algorithmes modernes : la machine de Turing et celle de Post. Le second exposé était intitulé Les courbes, entre mathématiques, physiques et techniques. Mme Barbin a tout d'abord relevé que si nous plaçons au premier plan de notre enseignement la notion de fonction, celle-ci est apparue tardivement et que c'est en fait la notion de courbe qui a longtemps prédominé. Elle a donné quelques exemples de la manière dont cette notion avait été traitée dans l'Antiquité. Elle a notamment présenté la définition des coniques d’Apollonius et expliqué comment la conchoïde de Nicomède permet d'effectuer la trisection de l'angle. Elle a ensuite à nouveau accompli un saut dans le temps et montré comment des problèmes physiques avaient, au 17e siècle, conduit à l'étude de courbes. Parmi les exemples étudiés, citons la recherche de courbes anaclastiques (transformant un faisceau lumineux parallèle en un faisceau convergent) par Descartes (l'hyperbole et l'ellipse sont solution) et les recherches faites par Huygens en vue de construire un pendule isochrone et de résoudre ainsi le problème de la mesure des longitudes; dans ce cas, la solution fait intervenir une courbe étudiée en détail tout au long du 17e siècle : la cycloïde. Elle a conclu avec la méthode inverse des tangentes de Leibniz, point de départ des équations différentielles.

L'après-midi était consacrée à deux exposés de M. Philippe Lombard (Nancy). Dans le premier, De la perspective au plan projectif, il a montré comment la perspective était apparue chez les peintres du 15e siècle. Ses propos étaient illustrés par une riche iconographie. Sa maîtrise des outils informatiques a fait des merveilles et les participants ont ainsi pu voir de quelle manière les peintres appliquaient ou n'appliquaient pas les lois de la perspective et dans quelle intention. Il a ensuite parlé du rôle de Desargues dans la naissance de la géométrie projective au 17e siècle. Avançant dans le temps de plus de deux siècles, il a montré pour finir comment le plan projectif pouvait être réalisé topologiquement sur une surface de l'espace euclidien : la surface dite «de Boy», découverte en 1903 par W. Boy. Le second exposé était intitulé De la réforme des maths modernes aux logiciels de géométrie dynamique. M. Lombard a commencé par expliquer les raisons de cette réforme entreprise à la fin des années 1960. Il a ensuite donné quelques exemples d’application qui n'ont pas manqué de déchaîner l'hilarité de l'auditoire. Le sommet semble avoir été atteint par la définition de la droite proposée dans un manuel de 4ème de 1971. La réforme a été suivie d'une contre-réforme initiée notamment par René Thom. En 1984, toutes les notions controversées ont disparu des manuels du niveau secondaire. On semble être tombé aujourd'hui dans l'excès contraire en se bornant à vérifier des théorèmes de manière expérimentale. Pour certains didacticiens, l'illustration d'un théorème à partir d'un nombre suffisant de figures devrait suffire pour emporter l'assentiment de l'élève.

La dernière matinée était consacrée à deux exposés de M. Klaus Volkert (Wuppertal). Le premier avait pour titre La géométrie est-elle une science expérimentale? M. Volkert a d'abord rappelé la fameuse phrase de Platon selon laquelle il ne faut pas confondre la figure tracée dans le sable et la figure abstraite. Il a ensuite montré comment la géométrie, à la suite notamment de l'invention de la géométrie non euclidienne, avait été considérée au 19e siècle par de nombreux mathématiciens comme une science expérimentale. M. Volkert a présenté la solution conventionnaliste de Poincaré qui distingue clairement la géométrie, théorie abstraite, de ses réalisations expérimentales. Il a conclu en reprenant à son compte la phrase de Platon. Le second exposé était intitulé Qu'est-ce qu'une aire? M. Volkert a expliqué comment un mathématicien allemand, P. Gerwien, avait développé dans deux articles publiés en 1833 une nouvelle théorie de l'aire des polygones valable dans le plan et sur la sphère. Elle repose sur la notion d'équidécomposabilité : deux polygones sont équidécomposables s'ils peuvent être décomposés chacun en une famille de polygones deux à deux congruents. S'il est clair que deux polygones équidécomposables ont la même aire, la réciproque n'est pas banale et constitue l'essentiel du travail de Gerwien. M. Volkert a proposé aux participants d'étudier quelques cas simples mettant en jeu des triangles. Il a ensuite expliqué le principe de la démonstration générale. Relevons que l'analogue n'est pas vrai dans l'espace. Deux polyèdres peuvent avoir le même volume sans être équidécomposables. M. Volkert a terminé son exposé en donnant des exemples de problèmes de dissection, un sujet typiquement réservé aux mathématiciens amateurs. Il s'agit par exemple de transformer n carrés isométriques en un seul carré de même aire. C'est possible si n s'écrit comme somme de deux carrés différents.

Au terme de cette semaine, les participants se sont déclarés très satisfaits. Ils ont eu la chance d'entendre des spécialistes reconnus présenter leurs travaux et ont eu une bonne image de ce que sont l'histoire et la philosophie de mathématiques. Ils ont sans doute mesuré l'intérêt que présentent ces disciplines, malheureusement quasi-absentes de la formation universitaire en Suisse. Ils ont apprécié l'enrichissement apporté par une réflexion sur les méthodes et les fondements des mathématiques.

Jean-Daniel Voelke, novembre 2010