La CRM organise régulièrement des cours de formation continue. Ces cours abordent les différents aspects de l’enseignement des mathématiques ainsi que l’étude de sujets d’actualité.

Rappel

Les cantons encouragent la participation à des cours de formation continue et prennent en charge tout ou partie des frais. Veuillez vous renseigner auprès de votre direction ou de votre département.

Colloque 2026 | Les problèmes du prix du millénaire

Le colloque annuel de la CRM sera consacré cette année à un passage en revue des problèmes du prix du millénaire. Les participant.e.s auront ainsi la possibilité de développer leur culture générale sur des sujets de recherche actuelle et d’en découvrir des aspects vulgarisés transmissibles à des élèves.

Une brève histoire de quelques problèmes mathématiques célèbres, Anders Karlsson

Les mystères sur les nombres premiers, les nombres parfaits, la conjecture ABC, l’axiome des parallèles, le problème de Bâle ou encore le dernier théorème de Fermat : autant de problèmes célèbres à propos desquels Anders Karlsson partagera des anecdotes et dont il discutera des perspectives. Ce sera aussi l’occasion de discuter du rôle que jouent les problèmes dans le développement des mathématiques.

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, Didier Lesesvre

Les courbes elliptiques sont des objets géométriques définis par des équations simples, mais dotés d’une structure algébrique riche permettant d’« additionner » leurs points. Elles jouent un rôle central en théorie des nombres et interviennent aussi en cryptographie moderne. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer explique une partie de la structure des points (rationnels) d'une courbe elliptique par le comportement d'une fonction (qui lui est naturellement associée, appelée fonction L) en un point très particulier. Nous introduirons ces structures algébriques et présenterons des exemples parlants.

Hypothèse de Riemann, Didier Lesesvre

La fonction zêta de Riemann est pour ainsi dire une fonction génératrice de l'arithmétique : elle encode (de manière analytique) de nombreuses propriétés fines de l'arithmétique, notamment sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est une conjecture fondamentale, énonçant que ses zéros (non triviaux) sont situés sur une droite très particulière, ce qui aurait de fortes conséquences sur de nombreuses questions de théorie des nombres. Nous introduirons les enjeux de l'hypothèse de Riemann et présenterons certaines directions récentes d'étude.

Conjecture de Poincaré, Lukas Lewark

Une variété de dimension 2, ou 2 variété, est un objet géométrique qui ressemble au plan au voisinage de chaque point. Par exemple, la surface de la Terre (une 2 sphère) est une 2 variété — c'est pourquoi nous pouvons représenter de petites régions de la Terre à l'aide de cartes. La conjecture formulée par Henri Poincaré en 1904 concerne les 3 variétés : des objets géométriques qui ressemblent à l'espace au voisinage de chaque point. L'univers en serait un exemple (qui pourrait être de taille infinie). Parmi les 3 variétés de taille finie (appelées compactes), la 3 sphère est la plus simple. La conjecture de Poincaré donne un critère permettant de déterminer quand une 3 variété est la 3 sphère : en termes techniquement précis, elle affirme que toute 3-variété compacte simplement connexe de dimension 3 est en fait la 3 sphère. Tous ces termes seront expliqués dans les exposés. La conjecture de Poincaré reste à ce jour le seul des sept problèmes du prix du millénaire à avoir été résolue : en 2003, elle a été démontrée par Grigori Perelman, s'appuyant sur des travaux de Richard Hamilton.

Problème de Yang-Mills et écart de masse, Alexander Thomas

Un pilier de la physique moderne est le modèle standard de la physique des particules. Ce modèle est une théorie quantique de la matière, classifiant et décrivant les particules élémentaires. Il est décrit par une théorie dite de Yang-Mills, une généralisation de la théorie de l'électromagnétisme. Une observation expérimentale surprenante est l'existence d'une masse minimale : toutes les masses sont plus grandes qu'une certaine valeur strictement positive. A ce jour, ce phénomène n'a aucune explication théorique. Il est absent dans la théorie classique (sans effets quantiques). En effet, dans la mécanique classique de Newton, il n'y a pas de restriction sur les masses. Cet écart de masse entraîne d'importantes conséquences, notamment le confinement des quarks.

Dans ces exposés, je vais expliquer le contexte et quelques idées clé du problème du millénaire concernant la théorie de Yang-Mills et ses conséquences sur le monde qui nous entoure.

P versus NP, Arnaud Casteigts

Dans cet exposé, je présenterai la question P vs NP, considérée comme l'une des plus importantes en informatique fondamentale. Une partie de l'exposé consistera en une introduction au domaine de la complexité algorithmique, qui s'intéresse à comprendre les ressources requises en temps et en espace pour résoudre divers problèmes algorithmiques. La classification qui en résulte permet de ranger ces problèmes dans des classes de complexité dont les relations font l'objet de recherches actives depuis une cinquantaine d'années. Parmi ces classes, P correspond aux problèmes que l'on sait résoudre "rapidement" (en temps polynomial) et NP aux problèmes dont on est capable de vérifier une solution rapidement. Il est naturel de penser que la classe NP contient beaucoup plus de problèmes que la classe P, cependant personne n'a réussi à le démontrer. Dans cet exposé, je tenterai d'expliquer pourquoi cette question est à la fois naturelle, importante et difficile. J'évoquerai aussi ses ramifications pratiques avec des exemples issus de la vie quotidienne et ses implications profondes en mathématiques.

Intervenants

Programme (sous réserve de modifications)

Cours passés